Đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản

1. Đạo hàm của hàm số \(y = {x^n}\left( {n \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\)

Hàm số \(y = {x^n}\left( {n \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}}.\)

Nhận xét:

Bằng định nghĩa, ta chứng minh được:

\( \bullet \) Đạo hàm của hàm hằng bằng \(0:{\left( c \right)^\prime } = 0\) với \(c\) là hằng số.

\( \bullet \) Đạo hàm của hàm số \(y = x\) bằng \(1:{\left( x \right)^\prime } = 1.\)

2. Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \)

Hàm số \(y = \sqrt x \) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R},x > 0\) và \({\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}.\)

3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

Hàm số \(y = \sin x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x.\)

Hàm số \(y = \cos x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \({\left( {\cos x} \right)^\prime } =  - \sin x.\)

Hàm số \(y = \tan x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \({\left( {\tan x} \right)^\prime } = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\)

Hàm số \(y = \cot x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \({\left( {\cot x} \right)^\prime } =  - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\)

4. Đạo hàm của hàm số mũ

Hàm số \(y = {e^x}\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \({\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}.\)

Tổng quát:

Hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {{a^x}} \right) = {a^x}\ln a.\)

5. Đạo hàm của hàm số lôgarit

Hàm số \(y = \ln x\) có đạo hàm tại mọi \(x\) dương và \({\left( {\ln x} \right)^\prime } = \dfrac{1}{x}.\)

Tổng quát:

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) có đạo hàm tại mọi \(x\) dương và \({\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \dfrac{1}{{x\ln a}}.\)

Báo lỗi