Cấp số cộng
1. Kiến thức cần nhớ
- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_n} = {u_{n - 1}} + d,\forall n \ge 2\)
- Số \(d\) được gọi là công sai của cấp số cộng.
- Tính chất:
+) \({u_k} = \dfrac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2},\forall k \ge 2\)
+) Số hạng tổng quát: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
+) Tổng \(n\) số hạng đầu: \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \dfrac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2} = \dfrac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2}\)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(d = {u_n} - {u_{n - 1}},\forall n \ge 2\).
- Bước 2: Kết luận:
+ Nếu \(d\) là số không đổi thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng.
+ Nếu \(d\) thay đổi theo \(n\) thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.
Dạng 2: Tìm công sai của cấp số cộng.
Phương pháp:
Sử dụng các tính chất của cấp số cộng, biến đổi để tính công sai của cấp số cộng.
Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng.
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
Dạng 4: Tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của dãy.
Phương pháp:
Sử dụng công thức \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \dfrac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2} = \dfrac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2}\)
Dạng 5: Tìm cấp số cộng
Phương pháp chung:
- Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu \({u_1}\), công sai \(d\).
- Tìm công thức cho số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
